PARA LOS DOCENTES
La calculadora tampoco permite obtener el resto de una división con números
naturales. Veamos el siguiente problema:
“Analía tenía 76 globos para repartir en partes iguales entre sus 9 alumnos. Antes de
repartirlos quiso saber cuántos sobrarían e hizo cuentas con la calculadora ¿cuántos globos sobran?, ¿qué cuentas habrá hecho?”
Si los alumnos lo resuelven con la calculadora la misma arrojará como resultado de la
división 8,444444444 pero en ese número no es muy sencillo encontrar con cuántos globos se quedó Analía. Reconstruir el resto de la división implicará despreciar la parte decimal, “quedarse” con el 8, multiplicar luego 8 x 9 y calcular que si había 76 y usó 72 se quedó con 4 globos para ella haciendo 76 - 72. Evidentemente este problema puede ser planteado a los alumnos de tercero, cuarto o quinto año con la finalidad de ampliar los significados de la división y la relación entre cociente, divisor, resto y dividendo 8, pero aún cuando dicho conocimiento matemático esté ya disponible, este problema permite investigar otro “límite” de la calculadora.
http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
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lunes, 12 de octubre de 2009
La calculadora en 4º-5º Y 6º grado (1ª parte)
PARA LOS DOCENTES
A partir de tercero o cuarto años los alumnos, además de conocer el teclado y el
funcionamiento de la calculadora, podrán estudiar con más profundidad aspectos “menos
visibles” de la misma. Por ejemplo, el uso repetido de algunas teclas y el efecto que
producen. Para ello es posible plantear la investigación en diferentes calculadoras. Estas funciones varían según si las calculadoras son estándar o científicas, y hay incluso calculadoras estándar en las que se obtienen resultados diferentes según cómo es interpretada la repetición de los signos. Algunos problemas que apuntan a este objetivo pueden ser los siguientes:
“Si oprimimos en la calculadora las siguientes teclas: 25 + = ¿Qué número
aparece? ¿Sucede lo mismo con todas las calculadoras?”
“Y si oprimimos 25 + = = ?”
“¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = después del 25 para que aparezca en
el visor el número 200?”
“¿Qué aparecerá en la pantalla si oprimimos 36 – 6 = = ?. ¿Cuántas veces habrá que
oprimir la tecla = para que aparezca el número 0?”
“Si oprimen en la calculadora 10 x = ¿Qué número aparece? ¿Cuántas veces habrá
que oprimir la tecla = para que aparezca 1.000.000?”
“Si oprimen en la calculadora 25 : 5 = = ¿Qué número aparece?. Y si oprimen 3125
: 5 = = .. ¿Cuántas veces hay que oprimir el = para que aparezca el 1?”
Evidentemente estos problemas, además de apuntar a estudiar el uso repetido de las
teclas en las calculadoras, permiten abordar conocimientos específicos de las operaciones y sus propiedades. Otros problemas para cuarto o quinto años que permiten comparar el uso de la calculadora estándar con la calculadora científica son, por ejemplo:
“Realicen el siguiente cálculo con calculadora común y con calculadora científica:
3x4+4x5 = ¿Cómo explican que se obtengan diferentes resultados? ¿Cuál es correcto y
por qué? ¿Cómo hacer estos cálculos con la calculadora común?”
Recordemos que frente a un cálculo como 3x4+4x5 las calculadoras estándar
realizarán los cálculos a medida que se incorporan, es decir 3x4=12, luego considerará 12+4=16 y finalmente 16x5=80, evidentemente resultado incorrecto. Es como si hicieran (3 x 4 + 4 ) x 5. En cambio, las calculadoras científicas frente a ese mismo cálculo contemplan la jerarquía de las operaciones, es decir que realizarán 3x4 y 4x5 haciendo 12 (de 3x4) +20 (de 4x5) arrojando un resultado diferente, en este caso 32. Este problema pone de manifiesto un “límite” de la calculadora estándar: no conoce la jerarquía de las operaciones, es decir que opera por orden de escritura sin tener en cuenta la separación en términos. La calculadora científica en cambio sí tiene en cuenta la separación de los términos.
la función memoria. Un modo de resolver el problema es realizar 3 x 4,guardar el resultado parcial con la tecla memoria y luego de realizar el segundo cálculo
sumarle el resultado del primero a partir de la tecla memoria. Otra clase de problemas que apuntan a este mismo aspecto son aquellos en los que hay que averiguar un resultado total que surge de cálculos parciales. Por ejemplo:
Lista de precios: Juegos de computadora $14. Libros de texto de 1er ciclo $19 . Libros de texto de 2do ciclo $ 23. Calculadoras $ 2 . Compases $ 3.
La presidente de la cooperadora de la escuela averiguó utilizando la calculadora que
le alcanza con $400 para comprar 5 libros de texto de primer ciclo, 7 libros de texto de 2do ciclo, 20 calculadoras y 20 compases. ¿Qué cuentas pudo haber hecho? Anotalas y hacelas con la calculadora.
Este problema permitirá abordar en la clase estrategias diferentes para realizar la
acumulación de resultados parciales. El uso de la función memoria podrá instalarse como medio económico de resolución.
FUENTE: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
A partir de tercero o cuarto años los alumnos, además de conocer el teclado y el
funcionamiento de la calculadora, podrán estudiar con más profundidad aspectos “menos
visibles” de la misma. Por ejemplo, el uso repetido de algunas teclas y el efecto que
producen. Para ello es posible plantear la investigación en diferentes calculadoras. Estas funciones varían según si las calculadoras son estándar o científicas, y hay incluso calculadoras estándar en las que se obtienen resultados diferentes según cómo es interpretada la repetición de los signos. Algunos problemas que apuntan a este objetivo pueden ser los siguientes:
“Si oprimimos en la calculadora las siguientes teclas: 25 + = ¿Qué número
aparece? ¿Sucede lo mismo con todas las calculadoras?”
“Y si oprimimos 25 + = = ?”
“¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = después del 25 para que aparezca en
el visor el número 200?”
“¿Qué aparecerá en la pantalla si oprimimos 36 – 6 = = ?. ¿Cuántas veces habrá que
oprimir la tecla = para que aparezca el número 0?”
“Si oprimen en la calculadora 10 x = ¿Qué número aparece? ¿Cuántas veces habrá
que oprimir la tecla = para que aparezca 1.000.000?”
“Si oprimen en la calculadora 25 : 5 = = ¿Qué número aparece?. Y si oprimen 3125
: 5 = = .. ¿Cuántas veces hay que oprimir el = para que aparezca el 1?”
Evidentemente estos problemas, además de apuntar a estudiar el uso repetido de las
teclas en las calculadoras, permiten abordar conocimientos específicos de las operaciones y sus propiedades. Otros problemas para cuarto o quinto años que permiten comparar el uso de la calculadora estándar con la calculadora científica son, por ejemplo:
“Realicen el siguiente cálculo con calculadora común y con calculadora científica:
3x4+4x5 = ¿Cómo explican que se obtengan diferentes resultados? ¿Cuál es correcto y
por qué? ¿Cómo hacer estos cálculos con la calculadora común?”
Recordemos que frente a un cálculo como 3x4+4x5 las calculadoras estándar
realizarán los cálculos a medida que se incorporan, es decir 3x4=12, luego considerará 12+4=16 y finalmente 16x5=80, evidentemente resultado incorrecto. Es como si hicieran (3 x 4 + 4 ) x 5. En cambio, las calculadoras científicas frente a ese mismo cálculo contemplan la jerarquía de las operaciones, es decir que realizarán 3x4 y 4x5 haciendo 12 (de 3x4) +20 (de 4x5) arrojando un resultado diferente, en este caso 32. Este problema pone de manifiesto un “límite” de la calculadora estándar: no conoce la jerarquía de las operaciones, es decir que opera por orden de escritura sin tener en cuenta la separación en términos. La calculadora científica en cambio sí tiene en cuenta la separación de los términos.
la función memoria. Un modo de resolver el problema es realizar 3 x 4,guardar el resultado parcial con la tecla memoria y luego de realizar el segundo cálculo
sumarle el resultado del primero a partir de la tecla memoria. Otra clase de problemas que apuntan a este mismo aspecto son aquellos en los que hay que averiguar un resultado total que surge de cálculos parciales. Por ejemplo:
Lista de precios: Juegos de computadora $14. Libros de texto de 1er ciclo $19 . Libros de texto de 2do ciclo $ 23. Calculadoras $ 2 . Compases $ 3.
La presidente de la cooperadora de la escuela averiguó utilizando la calculadora que
le alcanza con $400 para comprar 5 libros de texto de primer ciclo, 7 libros de texto de 2do ciclo, 20 calculadoras y 20 compases. ¿Qué cuentas pudo haber hecho? Anotalas y hacelas con la calculadora.
Este problema permitirá abordar en la clase estrategias diferentes para realizar la
acumulación de resultados parciales. El uso de la función memoria podrá instalarse como medio económico de resolución.
FUENTE: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
La calculadora en 2do. grado.
PARA LOS DOCENTES
Si los niños de segundo o tercer año no han utilizado la calculadora en años anteriores será necesario también realizar este trabajo antes de abordar la diversidad de problemas para los diversos contenidos.
- En grupos reciben una hoja con una serie de cálculos y tienen que encontrar y
corregir los erróneos.
- Los niños reciben una hoja con un cuadro de doble entrada en el que hay números escritos y tienen que buscar cuentas cuyo resultado sea cada uno de esos números.
- El docente entrega una lista de cálculos muy sencillos a cada pareja de alumnos. Uno de los niños realiza los cálculos en lápiz y papel y el otro con la calculadora. Gana el que los hace más rápido. (Esta actividad apunta además a poner en evidencia que los cálculos muy sencillos se hacen más rápido mentalmente)
- etc.
Posteriormente a estas actividades los alumnos desde primer año podrán empezar
a resolver problemas para aprender más sobre las operaciones o sobre el sistema de
numeración como se sugiere en los siguientes apartados.
FUENTE: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
Si los niños de segundo o tercer año no han utilizado la calculadora en años anteriores será necesario también realizar este trabajo antes de abordar la diversidad de problemas para los diversos contenidos.
- En grupos reciben una hoja con una serie de cálculos y tienen que encontrar y
corregir los erróneos.
- Los niños reciben una hoja con un cuadro de doble entrada en el que hay números escritos y tienen que buscar cuentas cuyo resultado sea cada uno de esos números.
- El docente entrega una lista de cálculos muy sencillos a cada pareja de alumnos. Uno de los niños realiza los cálculos en lápiz y papel y el otro con la calculadora. Gana el que los hace más rápido. (Esta actividad apunta además a poner en evidencia que los cálculos muy sencillos se hacen más rápido mentalmente)
- etc.
Posteriormente a estas actividades los alumnos desde primer año podrán empezar
a resolver problemas para aprender más sobre las operaciones o sobre el sistema de
numeración como se sugiere en los siguientes apartados.
FUENTE: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
La calculadora en 1er grado.
PARA LOS DOCENTES
La calculadora como herramienta para aprender más.
Problemas para conocer cómo funciona la calculadora y los límites de la
misma (Primero, segundo y tercer ciclo EGB).
En primer año será necesario abordar con los niños actividades que les permitan
conocer el funcionamiento de la calculadora: con qué tecla se enciende y con cuál se
apaga, las teclas de las diferentes operaciones, aprender a borrar si se equivocan,
conocer el significado de otras teclas aunque no las utilicen, etc.
El trabajo exploratorio del teclado de la calculadora involucrará que en ocasiones
los niños se enfrenten a conocimientos matemáticos que aún no tienen disponibles, y que evidentemente requerirán de otros problemas y tiempos para su adquisición. Sin
embargo, los alumnos pueden interactuar con los mismos aún cuando no dominen sus
significados. Un ejemplo de ello son los signos de las operaciones de multiplicación y división. Evidentemente la construcción del significado de dichas operaciones llevará varios años a los alumnos. Sin embargo, podrán conocer que la calculadora también sirve para esas operaciones y probar qué resultados obtienen. Otro conocimiento matemático que aparecerá a partir de la indagación sobre el uso de esta máquina será el punto. Si bien los niños aún no tienen un dominio de los números decimales las situaciones exploratorias exigirán referirse al uso de la coma decimal. Posiblemente realizarán desde el principio divisiones sencillas aún cuando no dominen los diversos significados de dicha operación y algunos cálculos que realicen para conocer su funcionamiento los llevarán a obtener números decimales. El docente puede informar que en la calculadora la coma es un punto y ejemplificar el sentido del mismo con el contexto del dinero o la medida.
En primer año, una vez que los niños pueden utilizar la calculadora por sus propios
medios y ya conocen los signos +, - e = con lápiz y papel algunas actividades que podrán realizar son:
- Resolver con la calculadora cálculos sencillos de sumas y restas.
- Buscar con la calculadora y registrar en el cuaderno varios cálculos que den un
resultado dado.
- Corregir cálculos realizados por sí mismos o por sus compañeros en lápiz y
papel.
- Resolver problemas usando la calculadora. Registrar en el cuaderno qué cálculo realizaron para cada problema.
- En parejas cada alumno escribe en un papel un número y el compañero, en un tiempo dado, tiene que encontrar con la calculadora la mayor cantidad de cuentas que den por resultado ese número. Gana el alumno de la pareja que logró encontrar más cuentas.
Fuente: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
La calculadora como herramienta para aprender más.
Problemas para conocer cómo funciona la calculadora y los límites de la
misma (Primero, segundo y tercer ciclo EGB).
En primer año será necesario abordar con los niños actividades que les permitan
conocer el funcionamiento de la calculadora: con qué tecla se enciende y con cuál se
apaga, las teclas de las diferentes operaciones, aprender a borrar si se equivocan,
conocer el significado de otras teclas aunque no las utilicen, etc.
El trabajo exploratorio del teclado de la calculadora involucrará que en ocasiones
los niños se enfrenten a conocimientos matemáticos que aún no tienen disponibles, y que evidentemente requerirán de otros problemas y tiempos para su adquisición. Sin
embargo, los alumnos pueden interactuar con los mismos aún cuando no dominen sus
significados. Un ejemplo de ello son los signos de las operaciones de multiplicación y división. Evidentemente la construcción del significado de dichas operaciones llevará varios años a los alumnos. Sin embargo, podrán conocer que la calculadora también sirve para esas operaciones y probar qué resultados obtienen. Otro conocimiento matemático que aparecerá a partir de la indagación sobre el uso de esta máquina será el punto. Si bien los niños aún no tienen un dominio de los números decimales las situaciones exploratorias exigirán referirse al uso de la coma decimal. Posiblemente realizarán desde el principio divisiones sencillas aún cuando no dominen los diversos significados de dicha operación y algunos cálculos que realicen para conocer su funcionamiento los llevarán a obtener números decimales. El docente puede informar que en la calculadora la coma es un punto y ejemplificar el sentido del mismo con el contexto del dinero o la medida.
En primer año, una vez que los niños pueden utilizar la calculadora por sus propios
medios y ya conocen los signos +, - e = con lápiz y papel algunas actividades que podrán realizar son:
- Resolver con la calculadora cálculos sencillos de sumas y restas.
- Buscar con la calculadora y registrar en el cuaderno varios cálculos que den un
resultado dado.
- Corregir cálculos realizados por sí mismos o por sus compañeros en lápiz y
papel.
- Resolver problemas usando la calculadora. Registrar en el cuaderno qué cálculo realizaron para cada problema.
- En parejas cada alumno escribe en un papel un número y el compañero, en un tiempo dado, tiene que encontrar con la calculadora la mayor cantidad de cuentas que den por resultado ese número. Gana el alumno de la pareja que logró encontrar más cuentas.
Fuente: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
Uso de la calculadora. Fundamentación.
¿Por qué la calculadora en las aulas?
Todos conocemos la relevancia que ha tenido hasta hace pocos años el dominio de
los cuatro algoritmos de cálculo en la escuela primaria. Estos algoritmos, producto de siglos de producción matemática, fueron considerados de tal nivel de utilidad y economía que se constituyeron en uno de los principales objetos de estudio en la escolaridad básica. La finalidad era democratizar el acceso a un conocimiento que hasta ese momento era patrimonio de una elite. Evidentemente la escuela cumplió con este objetivo y hoy día los cálculos algorítmicos son un patrimonio cultural difundido. Sin embargo, en nuestra sociedad actual hay una variedad de estrategias de cálculo mucho mayor de las que viven en la escuela. La situación se ha invertido con respecto a algunas décadas atrás: desde una escuela que pretendía difundir conocimientos de uso social restringido a una escuela que sigue difundiendo conocimientos sociales casi fuera de uso y que no ha incorporado como objetos de enseñanza otras prácticas sociales de cálculo.
Fuera de la escuela utilizamos con mucha mayor frecuencia el cálculo mental, el
cálculo estimativo y el cálculo con calculadora que los algoritmos convencionales que hemos aprendido en la misma. ¿Por qué no enseñarles a los alumnos toda esa variedad de estrategias y recursos de uso social actual?
Actualmente le pedimos a la escuela que enseñe conocimientos más amplios que el
dominio de algunas técnicas. Es responsabilidad de la escuela formar sujetos capaces de resolver problemas, de tomar decisiones, de producir estrategias propias, de comparar y apropiarse de estrategias pensadas por otros, de anticipar y controlar los resultados a los que arriba, de controlar los recursos que utiliza, de realizar prácticas matemáticas, etc. En el terreno del cálculo la escuela precisa difundir - además de los cuatro algoritmos convencionales - una gran diversidad de recursos. Entre ellos: conocer y comprender procedimientos de cálculo escrito algorítmico que se usan en otros países y que son tan económicos como los que conocemos, conocer y usar formas diversas de registrar los pasos intermedios que se realizan en los cálculos más complejos, dominar estrategias de cálculo estimativo o aproximado, resolver una gran variedad de cálculos mentales orales o escritos 2 y también resolver cálculos y problemas con la calculadora.
Proponemos reemplazar la actividad mecánica y casi “mágica” de los cuatro únicos
métodos por una variedad de recursos que necesariamente involucran la complejidad de los conocimientos matemáticos implícitos en cada operación. Es decir ampliar el objeto de estudio “cuentas” a un abanico más amplio de recursos de cálculo apuntando a que los alumnos comprendan las razones que subyacen a las técnicas y las propiedades que esconden las prácticas mecánicas.
¿Y las cuentas desaparecen de la escuela? Abordar la enseñanza de la diversidad
de estrategias de cálculo no significa de ningún modo desterrar de la escuela los cálculos convencionales sino ofrecer más herramientas. No hay duda de que los niños precisan un cierto dominio de técnicas de cálculo tanto porque éstas tienen su campo de utilidad como porque intervienen en la construcción del sentido de las operaciones. Pero tambien es importante que los alumnos mismos sean capaces de establecer los límites de utilización de cada estrategia, técnica o instrumento.
Por ejemplo, si tuviéramos que averiguar el resultado de 25 x 4 ninguno de nosotros
haría un cálculo algorítmico ya que hemos memorizado que el resultado es 100. Disponer de dicho resultado en memoria es más eficaz y veloz. Para averiguar el resultado de 26 x 4 posiblemente pensaríamos 25 x 4 y luego agregaríamos 4 o bien haríamos 20 x 4 + 6 x 4. En este caso es más efectivo realizar un cálculo mental que un cálculo escrito algorítmico. Frente al cálculo 138 x 100 tampoco usaríamos el algoritmo pues conocemos una regla que nos permite saber que el resultado es 13800. Si quisiéramos saber si alcanzan $100 para comprar 21 objetos que cuestan $7 cada uno tampoco es necesaria la cuenta ya que es suficiente con un cálculo estimativo, por ejemplo 7 x 20 = 140 para determinar que $100 no alcanzan. Si tuviéramos en cambio que realizar 284 x 34 la cuenta convencional sería sin duda un medio efectivo de solución. Ahora bien, para 32.134.675 x 2.378 nadie dudaría en buscar una calculadora.Muchos de nosotros no hemos aprendido a tomar estas decisiones en la escuela ya que un único recurso nos fue enseñado. Dominar una variedad de estrategias de cálculo permitirá a los alumnos seleccionar la más conveniente de acuerdo a la situación y a los números involucrados y utilizar una estrategia como modo de control de otra. La calculadora permite abordar también un tipo de práctica anticipatoria. En muchos casos los problemas que se les proponen a los alumnos les exigen anticipar el resultado y la calculadora es el medio de verificación de los mismos. Esta actividad anticipatoria es una de las principales prácticas matemáticas que se intenta enseñar en la escuela y cuya importancia reside en que la anticipación es justamente aquello que otorga potencia a la matemática misma. Los conocimientos matemáticos permiten conocer la respuesta a problemas no resueltos empíricamente, es decir a sucesos aún no realizados o bien realizados en otro tiempo y en otro espacio. La calculadora, lejos de convertirse en una herramienta que impide pensar por sí mismos a los alumnos, tiene una enorme potencia para instalar prácticas anticipatorias y de control. Lógicamente, todo depende de las decisiones didácticas que se adopten.
Fuente:
http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
Todos conocemos la relevancia que ha tenido hasta hace pocos años el dominio de
los cuatro algoritmos de cálculo en la escuela primaria. Estos algoritmos, producto de siglos de producción matemática, fueron considerados de tal nivel de utilidad y economía que se constituyeron en uno de los principales objetos de estudio en la escolaridad básica. La finalidad era democratizar el acceso a un conocimiento que hasta ese momento era patrimonio de una elite. Evidentemente la escuela cumplió con este objetivo y hoy día los cálculos algorítmicos son un patrimonio cultural difundido. Sin embargo, en nuestra sociedad actual hay una variedad de estrategias de cálculo mucho mayor de las que viven en la escuela. La situación se ha invertido con respecto a algunas décadas atrás: desde una escuela que pretendía difundir conocimientos de uso social restringido a una escuela que sigue difundiendo conocimientos sociales casi fuera de uso y que no ha incorporado como objetos de enseñanza otras prácticas sociales de cálculo.
Fuera de la escuela utilizamos con mucha mayor frecuencia el cálculo mental, el
cálculo estimativo y el cálculo con calculadora que los algoritmos convencionales que hemos aprendido en la misma. ¿Por qué no enseñarles a los alumnos toda esa variedad de estrategias y recursos de uso social actual?
Actualmente le pedimos a la escuela que enseñe conocimientos más amplios que el
dominio de algunas técnicas. Es responsabilidad de la escuela formar sujetos capaces de resolver problemas, de tomar decisiones, de producir estrategias propias, de comparar y apropiarse de estrategias pensadas por otros, de anticipar y controlar los resultados a los que arriba, de controlar los recursos que utiliza, de realizar prácticas matemáticas, etc. En el terreno del cálculo la escuela precisa difundir - además de los cuatro algoritmos convencionales - una gran diversidad de recursos. Entre ellos: conocer y comprender procedimientos de cálculo escrito algorítmico que se usan en otros países y que son tan económicos como los que conocemos, conocer y usar formas diversas de registrar los pasos intermedios que se realizan en los cálculos más complejos, dominar estrategias de cálculo estimativo o aproximado, resolver una gran variedad de cálculos mentales orales o escritos 2 y también resolver cálculos y problemas con la calculadora.
Proponemos reemplazar la actividad mecánica y casi “mágica” de los cuatro únicos
métodos por una variedad de recursos que necesariamente involucran la complejidad de los conocimientos matemáticos implícitos en cada operación. Es decir ampliar el objeto de estudio “cuentas” a un abanico más amplio de recursos de cálculo apuntando a que los alumnos comprendan las razones que subyacen a las técnicas y las propiedades que esconden las prácticas mecánicas.
¿Y las cuentas desaparecen de la escuela? Abordar la enseñanza de la diversidad
de estrategias de cálculo no significa de ningún modo desterrar de la escuela los cálculos convencionales sino ofrecer más herramientas. No hay duda de que los niños precisan un cierto dominio de técnicas de cálculo tanto porque éstas tienen su campo de utilidad como porque intervienen en la construcción del sentido de las operaciones. Pero tambien es importante que los alumnos mismos sean capaces de establecer los límites de utilización de cada estrategia, técnica o instrumento.
Por ejemplo, si tuviéramos que averiguar el resultado de 25 x 4 ninguno de nosotros
haría un cálculo algorítmico ya que hemos memorizado que el resultado es 100. Disponer de dicho resultado en memoria es más eficaz y veloz. Para averiguar el resultado de 26 x 4 posiblemente pensaríamos 25 x 4 y luego agregaríamos 4 o bien haríamos 20 x 4 + 6 x 4. En este caso es más efectivo realizar un cálculo mental que un cálculo escrito algorítmico. Frente al cálculo 138 x 100 tampoco usaríamos el algoritmo pues conocemos una regla que nos permite saber que el resultado es 13800. Si quisiéramos saber si alcanzan $100 para comprar 21 objetos que cuestan $7 cada uno tampoco es necesaria la cuenta ya que es suficiente con un cálculo estimativo, por ejemplo 7 x 20 = 140 para determinar que $100 no alcanzan. Si tuviéramos en cambio que realizar 284 x 34 la cuenta convencional sería sin duda un medio efectivo de solución. Ahora bien, para 32.134.675 x 2.378 nadie dudaría en buscar una calculadora.Muchos de nosotros no hemos aprendido a tomar estas decisiones en la escuela ya que un único recurso nos fue enseñado. Dominar una variedad de estrategias de cálculo permitirá a los alumnos seleccionar la más conveniente de acuerdo a la situación y a los números involucrados y utilizar una estrategia como modo de control de otra. La calculadora permite abordar también un tipo de práctica anticipatoria. En muchos casos los problemas que se les proponen a los alumnos les exigen anticipar el resultado y la calculadora es el medio de verificación de los mismos. Esta actividad anticipatoria es una de las principales prácticas matemáticas que se intenta enseñar en la escuela y cuya importancia reside en que la anticipación es justamente aquello que otorga potencia a la matemática misma. Los conocimientos matemáticos permiten conocer la respuesta a problemas no resueltos empíricamente, es decir a sucesos aún no realizados o bien realizados en otro tiempo y en otro espacio. La calculadora, lejos de convertirse en una herramienta que impide pensar por sí mismos a los alumnos, tiene una enorme potencia para instalar prácticas anticipatorias y de control. Lógicamente, todo depende de las decisiones didácticas que se adopten.
Fuente:
http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm
Medida. 5º grado-2ªParte
PARA LOS DOCENTES.
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
Otra clase de problemas que se puede proponer para 5º grado son aquellos que demandan cálculos aproximados de longitudes, capacidades y pesos así como estimaciones. Se trata de usar las relaciones entre las diferentes unidades de medida y el cálculo para dar cuenta de las estimaciones y aproximaciones. Por ejemplo:
*Averigüen cuántos tomates pesan aproximadamente 1kg.
*¿Cuántas naranjas se necesitan para obtener 2 kilos?
*Estimen y anoten las siguientes medidas:
-El peso de sus mochilas...
-La longitud del mástil de la bandera...
-La cantidad de leche que entra en una jarra...
*Si un escalon mide 25 cm, ¿Cuántos escalones habrá que subir aproximadamente para llegar a un segundo piso?
*¿Es posible que un elefante pese 30 hectogramos?
*¿Cuántas jarras de 2 litros se necesitan aproximadamene para llenar un balde?
*¿Cuántos litros de agua entran aproximadamente en una pileta de lona que tiene 2 metros de largo, 1 metro de ancho y 50 centímetros de altura?
*Para cada uno de los siguientes ejemplos anoten si les parece necesario tomar una medida precisa o una medida aproximada. Justifiquen su respuesta:
-Se corta un vidrio para colocar en una ventana...
-Se corta papel para forrar un cuaderno...
-Se corta tela para hacer una camisa...
-Se calcula cuánta bebida se comprará para cierta cantidad de invitados...
Con este tipo de situaciones se busca que los alumnos puedan estimar diferentes medidas "a ojo", mediante cálculos aproximados, mediante el uso de relaciones de proporcionalidad directa, a partir de una representación mental de las unidades de medida con las que se trabaje.
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
Otra clase de problemas que se puede proponer para 5º grado son aquellos que demandan cálculos aproximados de longitudes, capacidades y pesos así como estimaciones. Se trata de usar las relaciones entre las diferentes unidades de medida y el cálculo para dar cuenta de las estimaciones y aproximaciones. Por ejemplo:
*Averigüen cuántos tomates pesan aproximadamente 1kg.
*¿Cuántas naranjas se necesitan para obtener 2 kilos?
*Estimen y anoten las siguientes medidas:
-El peso de sus mochilas...
-La longitud del mástil de la bandera...
-La cantidad de leche que entra en una jarra...
*Si un escalon mide 25 cm, ¿Cuántos escalones habrá que subir aproximadamente para llegar a un segundo piso?
*¿Es posible que un elefante pese 30 hectogramos?
*¿Cuántas jarras de 2 litros se necesitan aproximadamene para llenar un balde?
*¿Cuántos litros de agua entran aproximadamente en una pileta de lona que tiene 2 metros de largo, 1 metro de ancho y 50 centímetros de altura?
*Para cada uno de los siguientes ejemplos anoten si les parece necesario tomar una medida precisa o una medida aproximada. Justifiquen su respuesta:
-Se corta un vidrio para colocar en una ventana...
-Se corta papel para forrar un cuaderno...
-Se corta tela para hacer una camisa...
-Se calcula cuánta bebida se comprará para cierta cantidad de invitados...
Con este tipo de situaciones se busca que los alumnos puedan estimar diferentes medidas "a ojo", mediante cálculos aproximados, mediante el uso de relaciones de proporcionalidad directa, a partir de una representación mental de las unidades de medida con las que se trabaje.
domingo, 11 de octubre de 2009
Medida. 5º grado-1ªParte
PARA LOS DOCENTES
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
En 5º grado se podrá profundizar el tipo de trabajo realizado en 4º y se irá avanzando en nuevas relaciones que podrán apoyarse en las particiones de la unidad de medida, involucrando ahora otras unidades de medida. El docente podrá proponer a los alumnos diferentes tipos de problemas que permitn identificar las equivalencias entre las distintas unidades de medidas, apelando una vez más a las características del sistema de numeración, la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros y las relaciones de proporcionalidad directa. Por ejemplo:
*Completar las siguientes tablas:
*Si en una botella hay un litro de agua,¿cuántos goteros de 10 ml se podrían llenar? ¿Y de un decilitro?
*¿Cuál de las siguientes cajas es más pesada: la de300 decagramos, la de 2 kilogramos o la de 30 hectogramos?
Aquí se busca favorecer el reconocimento de que, en lagunas oportunidades, conviene escribir las medidas en una única unidad para poder realizar comparaciones.Es decir, si se considera que en un litro entran 1000 mililitros, es más sencillo arribar a la conclusión de que se llenan 100 goteros de 10 mililitros (pues en 100 goteros de 10 mililitros hay 1000 mililitros que equivalen al litro).
También se pueden proponer situaciones que permitan a los alumnos no solo avanzar a la identificación de relaciones entre las unidades de medidas, sino llegar a las equivalencias, apelando a expresiones decimales y fraccionarias. Se busca que identifiquen que 1/100 del metro equivale a 1 centímetro, así como 1 mililitro equivale a 1/1000 de litro ( o que equivale a 0,001 litros).
Ejemplos:
*¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas?
-1 ml = 0,001 litro
-1 ml = 0,01 litro
-1 ml = 1/100 litro
-1 ml = 1/1000 litro
*Paula es pediatra y necesita calcular la dosis de un remedio para indicarle a un paciente. Ella tiene anotado que para un chico de 9 años, la dosis correspondiente es de 15 mililitros por cada 10 kilos de peso, por día. Esta dosis se debe repartir en tres tomas iguales. ¿Qué cantidad de remedio le debe indicar en cada toma a Martín, que tiene 9 años y pesa 42 kilos?
Fuente: Orientaciones didácticas sobre la Enseñanza de medida en 2º ciclo. Gobierno de Buenos Aires.Documento de apoyo para la capacitación.
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
En 5º grado se podrá profundizar el tipo de trabajo realizado en 4º y se irá avanzando en nuevas relaciones que podrán apoyarse en las particiones de la unidad de medida, involucrando ahora otras unidades de medida. El docente podrá proponer a los alumnos diferentes tipos de problemas que permitn identificar las equivalencias entre las distintas unidades de medidas, apelando una vez más a las características del sistema de numeración, la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros y las relaciones de proporcionalidad directa. Por ejemplo:
*Completar las siguientes tablas:
*Si en una botella hay un litro de agua,¿cuántos goteros de 10 ml se podrían llenar? ¿Y de un decilitro?
*¿Cuál de las siguientes cajas es más pesada: la de300 decagramos, la de 2 kilogramos o la de 30 hectogramos?
Aquí se busca favorecer el reconocimento de que, en lagunas oportunidades, conviene escribir las medidas en una única unidad para poder realizar comparaciones.Es decir, si se considera que en un litro entran 1000 mililitros, es más sencillo arribar a la conclusión de que se llenan 100 goteros de 10 mililitros (pues en 100 goteros de 10 mililitros hay 1000 mililitros que equivalen al litro).
También se pueden proponer situaciones que permitan a los alumnos no solo avanzar a la identificación de relaciones entre las unidades de medidas, sino llegar a las equivalencias, apelando a expresiones decimales y fraccionarias. Se busca que identifiquen que 1/100 del metro equivale a 1 centímetro, así como 1 mililitro equivale a 1/1000 de litro ( o que equivale a 0,001 litros).
Ejemplos:
*¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas?
-1 ml = 0,001 litro
-1 ml = 0,01 litro
-1 ml = 1/100 litro
-1 ml = 1/1000 litro
*Paula es pediatra y necesita calcular la dosis de un remedio para indicarle a un paciente. Ella tiene anotado que para un chico de 9 años, la dosis correspondiente es de 15 mililitros por cada 10 kilos de peso, por día. Esta dosis se debe repartir en tres tomas iguales. ¿Qué cantidad de remedio le debe indicar en cada toma a Martín, que tiene 9 años y pesa 42 kilos?
Fuente: Orientaciones didácticas sobre la Enseñanza de medida en 2º ciclo. Gobierno de Buenos Aires.Documento de apoyo para la capacitación.
Medida. 4º grado-2ªParte
PARA LOS DOCENTES
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
Algunos de estos primeros problemas permitirán usar medios,cuartos, décimos, aspectos que serán retomados a aprtir de nuevos problemas ya que las fracciones y las expresiones decimales resulten una herramienta imprescindible en el tratamiento de este eje.
Otro tipo de problemas que se pueden proponer para 4º grado son aquellos que permiten iniciarse en el estudio de SIMELA (unidades convencionales de medida de longitud, capacidad y peso, así como sus múltiplos y submúltiplos).Ejemplos:
1)Hay dos tiras de madera, una mide 126 centímetros y la otra mide 1 metro con 20 centímetros. ¿Cuál es la más larga?
2)La línea de micros 712 tiene un recorrido de 38 km, ¿recorre más o menos que 50.000 metros?
3)En un vaso, ¿entrará más o menos que medio litro de agua? ¿Y que 200 ml?
4)En un balde entran 5 kg de cemento, ¿cuántos baldes de 500 gramos se peden llenar?
5)Para hacer 4 pizzas se usa 1 litro de agua, ¿será cierto que para cada pizza se necesitan 250 mililitros de agua?
Estos problemas invitan a utilizar las equivalencias entre unidades de medidas de uso más frecuente: -metros, centímetros y kilómetros. -kilos y gramos. -litros y mililitros.
Pero a su vez promueven el retorno a la multiplicación y división en términos de proporcionalidad. Es decir, si en 1 kilómetro hay 1000 metros, entonces en 38 km hay 38.000 metros (multiplicación y división por la unidad seguida de ceros)
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
Algunos de estos primeros problemas permitirán usar medios,cuartos, décimos, aspectos que serán retomados a aprtir de nuevos problemas ya que las fracciones y las expresiones decimales resulten una herramienta imprescindible en el tratamiento de este eje.
Otro tipo de problemas que se pueden proponer para 4º grado son aquellos que permiten iniciarse en el estudio de SIMELA (unidades convencionales de medida de longitud, capacidad y peso, así como sus múltiplos y submúltiplos).Ejemplos:
1)Hay dos tiras de madera, una mide 126 centímetros y la otra mide 1 metro con 20 centímetros. ¿Cuál es la más larga?
2)La línea de micros 712 tiene un recorrido de 38 km, ¿recorre más o menos que 50.000 metros?
3)En un vaso, ¿entrará más o menos que medio litro de agua? ¿Y que 200 ml?
4)En un balde entran 5 kg de cemento, ¿cuántos baldes de 500 gramos se peden llenar?
5)Para hacer 4 pizzas se usa 1 litro de agua, ¿será cierto que para cada pizza se necesitan 250 mililitros de agua?
Estos problemas invitan a utilizar las equivalencias entre unidades de medidas de uso más frecuente: -metros, centímetros y kilómetros. -kilos y gramos. -litros y mililitros.
Pero a su vez promueven el retorno a la multiplicación y división en términos de proporcionalidad. Es decir, si en 1 kilómetro hay 1000 metros, entonces en 38 km hay 38.000 metros (multiplicación y división por la unidad seguida de ceros)
Medida. 4º grado-1ªParte
PARA LOS DOCENTES
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
En 4º grado: Medir la altura de los alumnos y de diferentes objetos, identificar la cantidad de agua que se puede introducir en jarras o vasos medidores, pesar diferentes objetos en balanzas para ver cuál es el más pesado o más liviano. Se trata de que los alumnos se familiaricen con instrumentos de medida, con las unidades que se utilizan en cada caso y algunas relaciones entre unidades. Por ejemplo que 100 cm equivalen a 1 metro o que 1000 gramos equivalen a 1 kilo, o que 1000 mililitros rquivalen a 1 litro.
Se busca que a partir de los problemas de medición efectiva con las que los alumnos interactúen y como producto de la enseñanza los alumnos puedan identificar que:
-Medir es elegir una unidad y determinar cuántas veces entra en el objeto a medir, por lo tanto el resultado de la medición depende de la nidad elegida.
-Es imposible medir exactamente ya que la medición siempre es aproximada, sin embargo hay procedimientos que garanticen un mejor ajuste.
-La medición, en la mayoría de las oportunidades, demanda la aprtición de la unidad de medida elegida.
-La elección de las unidades de medida depende del objeto a medir.
Fuente: Orientaciones didácticas sobre la Enseñanza de medida en 2º ciclo. Gobierno de Buenos Aires.Documento de apoyo para la capacitación.
Problemas que permiten estudiar las relaciones entre unidades de medida, el sistema de numeración y la proporcionalidad.
En 4º grado: Medir la altura de los alumnos y de diferentes objetos, identificar la cantidad de agua que se puede introducir en jarras o vasos medidores, pesar diferentes objetos en balanzas para ver cuál es el más pesado o más liviano. Se trata de que los alumnos se familiaricen con instrumentos de medida, con las unidades que se utilizan en cada caso y algunas relaciones entre unidades. Por ejemplo que 100 cm equivalen a 1 metro o que 1000 gramos equivalen a 1 kilo, o que 1000 mililitros rquivalen a 1 litro.
Se busca que a partir de los problemas de medición efectiva con las que los alumnos interactúen y como producto de la enseñanza los alumnos puedan identificar que:
-Medir es elegir una unidad y determinar cuántas veces entra en el objeto a medir, por lo tanto el resultado de la medición depende de la nidad elegida.
-Es imposible medir exactamente ya que la medición siempre es aproximada, sin embargo hay procedimientos que garanticen un mejor ajuste.
-La medición, en la mayoría de las oportunidades, demanda la aprtición de la unidad de medida elegida.
-La elección de las unidades de medida depende del objeto a medir.
Fuente: Orientaciones didácticas sobre la Enseñanza de medida en 2º ciclo. Gobierno de Buenos Aires.Documento de apoyo para la capacitación.
sábado, 19 de septiembre de 2009
Enseñanza de la división-1ª parte
Para que los alumnos tengan la oportunidad de resolver problemas, y así construir un sentido de las operaciones, es importante presentarles distintos tipos de enunciados que les permitan pensar cada operación a partir de diferentes significados y que favorezcan la construcción de cálculo y de distintas formas de representación.
Se considera que la construcción del sentido de la división se logra cuando los lumnos reconocen cuál es el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación.
Aún cuando los niños de 1er grado no hayan aprendido "la cuenta de dividir" pueden movilizar recursos para resolver problemas "de división".
Ejemplo: Laura quiere repartir 15 figuritas en partes iguales entre sus tres amigas.
Los niños de 1er grado no tienen una estrategia experta (no sabe que se puede resolver con la operación 15:3). Sin embargo, pueden generar una respuesta utilizando otros procedimientos a partir de lo que saben:
*Utilizan algún tipo de material (por ejemplo tapitas o palitos) para distribuir y luego cuentan.
*Representan gráficamente las figuritas y las amigas, y reparten de 1 en 1 las figuritas entre las tres niñas. Luego cuentan las figuritas de cada niña.
*Prueban con distintas sumas sucesivas hasta que obtienen la conveniente: 5+5+5.
*Restan a 15 un número varias veces hasta que determinan que es 5
*Presentan una solución incorrecta: 15+3.
Frente a la solución incorrecta entre todos se puede analizar: ¿Por qué 15+3 no es un cálculo que permita averiguar la respuesta a este problema?Se les propone que inventen oralmente problemas para 15+3 y que lo comparen con el problema resuelto: comprueban que no siempre se suman los números escritos en el enunciado.
Se considera que la construcción del sentido de la división se logra cuando los lumnos reconocen cuál es el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación.
Aún cuando los niños de 1er grado no hayan aprendido "la cuenta de dividir" pueden movilizar recursos para resolver problemas "de división".
Ejemplo: Laura quiere repartir 15 figuritas en partes iguales entre sus tres amigas.
Los niños de 1er grado no tienen una estrategia experta (no sabe que se puede resolver con la operación 15:3). Sin embargo, pueden generar una respuesta utilizando otros procedimientos a partir de lo que saben:
*Utilizan algún tipo de material (por ejemplo tapitas o palitos) para distribuir y luego cuentan.
*Representan gráficamente las figuritas y las amigas, y reparten de 1 en 1 las figuritas entre las tres niñas. Luego cuentan las figuritas de cada niña.
*Prueban con distintas sumas sucesivas hasta que obtienen la conveniente: 5+5+5.
*Restan a 15 un número varias veces hasta que determinan que es 5
*Presentan una solución incorrecta: 15+3.
Frente a la solución incorrecta entre todos se puede analizar: ¿Por qué 15+3 no es un cálculo que permita averiguar la respuesta a este problema?Se les propone que inventen oralmente problemas para 15+3 y que lo comparen con el problema resuelto: comprueban que no siempre se suman los números escritos en el enunciado.
Los métodos y estrategias de cálculo aditivo.
Los métodos y estrategias de cálculo aditivo. Examinaremos estos métodos a partir de algunos ejemplos:
*Para resolver 27+16+13, el niño podría recolocar los números agrupándolos según las familias de sumandos de la unidad seguida de ceros: (27+13)+16
*En el caso de sumar 35+27, se pueden descomponer los términos para transformar la operación en otra más equivalente y más cómoda:
30+5+20+7= 30++5+2+7= 30+20+10+2=62
o para restar: 156-34= 156-30-4=126-4=122
*Para sumar 17+28, se pueden alterar los dos términos de la operación buscando el redondeo a ceros, al menos en uno de ellos:
1ªforma:17+28=20+28-3=48-3=45
2ªforma: 17+28=17+30-2=47-2=45
3ªforma:11+28= 20+30-3-2=45
Un objetivo fundamental del cálculo mental es la sistematización de un conjunto de resultados. Resulta necesario enseñar a los niños a apoyarse en los resultados conocidos para encontrar los no memorizados.
Fuente: Todos pueden aprender Matemática.
*Para resolver 27+16+13, el niño podría recolocar los números agrupándolos según las familias de sumandos de la unidad seguida de ceros: (27+13)+16
*En el caso de sumar 35+27, se pueden descomponer los términos para transformar la operación en otra más equivalente y más cómoda:
30+5+20+7= 30++5+2+7= 30+20+10+2=62
o para restar: 156-34= 156-30-4=126-4=122
*Para sumar 17+28, se pueden alterar los dos términos de la operación buscando el redondeo a ceros, al menos en uno de ellos:
1ªforma:17+28=20+28-3=48-3=45
2ªforma: 17+28=17+30-2=47-2=45
3ªforma:11+28= 20+30-3-2=45
Un objetivo fundamental del cálculo mental es la sistematización de un conjunto de resultados. Resulta necesario enseñar a los niños a apoyarse en los resultados conocidos para encontrar los no memorizados.
Fuente: Todos pueden aprender Matemática.
El cálculo mental
Un objetivo fundamental de 1º, 2º y 3er grado es construir, seleccionar y utilizar diversos procedimientos de cálculo en la resolución de los problemas y verificar la razonabilidad de los resultados. Por ello es fundamental que la escuela favorezca el trabajo con diversas situaciones, que permitan a los niños y a las niñas a elegir entre un cálculo mental (o "cálculo pensado", lo cual no significa que no se excluye el uso de lápiz y papel, es decir que no se opone al cálculo escrito),exacto y aproximado y uso de la calculadora. Cada situación de cálculo puede ser resuelta de maneras diversas. Es altamente recomendable que el docente estimule en los alumnos el desarrollo de procedimientos propios de cálculo, articulados con la operación a tratar y no con un algoritmo preestablecido, para la elaboración de resultados exactos o aproximados.
Los métodos y estrategias de cálculo mental aditivo ( que se utiliza fundamentalmente en los tres primeros grados) consite en la descomposición de los sumandos, la alteración de su orden de colocación o búsqueda del redondeo (trabajo con números redondos, números que arrastran ceros).
Los métodos y estrategias de cálculo mental aditivo ( que se utiliza fundamentalmente en los tres primeros grados) consite en la descomposición de los sumandos, la alteración de su orden de colocación o búsqueda del redondeo (trabajo con números redondos, números que arrastran ceros).
Para reflexionar y/o preguntarnos...
Durante muchos años se pensó que los niños tenían que aprender las operaciones primero (el algoritmo) y luego resolver problemas. Dichos problemas eran presentados como ejercicios de aplicación y evaluación de las operaciones. Hoy en día se sabe que no debe presentarse cuentas aisladas a los alumnos, solo tiene sentido su enseñanza cuando se trata de resolver problemas.
El rol del docente en la clase es fundamental quien aplicará la resolución de problemas. En la resolución de los mismos, los momentos de discusión de toda la clase sobre semejanzas y diferencias entre los diferentes procedimientos, las justificaciones, las reflexiones sobre los elementos de la situación y de su resolución posibilitarán que se originen nuevos conocimientos. Además los procedimientos más económicos comienzan a ser considerados y tal vez adoptados por alumnos que aún no lo hacen así.
Consideramos los siguientes interrogantes muy significativos a la hora de implementar las clases de Matemática,y algunos servirán de estímulos para los posibles acuerdos institucionales:
*¿Se implementará el cálculo mental desde el 1er año del EGB1? *¿Cómo enseñar a los alumnos a resolver operaciones sin darle inicialmente los pasos del algoritmo convencional? *¿Cómo hacer para que los alumnos realicen procedimientos diversos de cálculo? *¿Cómo enseñar a los niños a realizar estimaciones? *¿Cómo hacer avanzar a los alumnos en sus procedimientos una vez que han conseguido desplegarlos? *¿Por qué si los alumnos pasan horas resolviendo cuentas a lo largo de varios años, los resultados a largo plazo no son satisfactorios? *¿Son los algoritmos utilizados en nuestra cultura los más claros y económicos? *¿Podemos los docentes justificar rigurosamente cada uno de los pasos que efectuamos al resolver un algoritmo en forma convencional? *Si un alumno justifica su forma personal de resolver una cuenta de manera no convencional pero matemáticamente correcta ¿cómo lo calificamos? *Qué le contestamos a un alumno que nos dice: seño, en la suma empezamos a calcular por la derecha y en la división por la izquierda. En la resta vamos de arriba hacia abajo y en la multiplicación de abajo hacia arriba. ¿No se puede empezar siempre por un mismo lado?
El rol del docente en la clase es fundamental quien aplicará la resolución de problemas. En la resolución de los mismos, los momentos de discusión de toda la clase sobre semejanzas y diferencias entre los diferentes procedimientos, las justificaciones, las reflexiones sobre los elementos de la situación y de su resolución posibilitarán que se originen nuevos conocimientos. Además los procedimientos más económicos comienzan a ser considerados y tal vez adoptados por alumnos que aún no lo hacen así.
Consideramos los siguientes interrogantes muy significativos a la hora de implementar las clases de Matemática,y algunos servirán de estímulos para los posibles acuerdos institucionales:
*¿Se implementará el cálculo mental desde el 1er año del EGB1? *¿Cómo enseñar a los alumnos a resolver operaciones sin darle inicialmente los pasos del algoritmo convencional? *¿Cómo hacer para que los alumnos realicen procedimientos diversos de cálculo? *¿Cómo enseñar a los niños a realizar estimaciones? *¿Cómo hacer avanzar a los alumnos en sus procedimientos una vez que han conseguido desplegarlos? *¿Por qué si los alumnos pasan horas resolviendo cuentas a lo largo de varios años, los resultados a largo plazo no son satisfactorios? *¿Son los algoritmos utilizados en nuestra cultura los más claros y económicos? *¿Podemos los docentes justificar rigurosamente cada uno de los pasos que efectuamos al resolver un algoritmo en forma convencional? *Si un alumno justifica su forma personal de resolver una cuenta de manera no convencional pero matemáticamente correcta ¿cómo lo calificamos? *Qué le contestamos a un alumno que nos dice: seño, en la suma empezamos a calcular por la derecha y en la división por la izquierda. En la resta vamos de arriba hacia abajo y en la multiplicación de abajo hacia arriba. ¿No se puede empezar siempre por un mismo lado?
La calculadora como una herramienta de exploración y validación
La calculadora como una herramienta de exploración y validación
A veces el uso de la calculadora en el aula provoca cierto temor en los docentes: “si usan la calculadora entonces nunca van a hacer los cálculos bien, porque no van a practicar”. Otra idea que suele aparecer es que la calculadora evitará el razonamiento de los chicos, ya que: “si usan la calculadora no van a tener que pensar”.
Los chicos pueden aprender a hacer un uso reflexivo de la calculadora y que, lejos de dificultar el aprendizaje de los cálculos, podrán aprender más a partir de explorar y usar esta herramienta.
La calculadora es una herramienta hoy imprescindible en las aulas. Entre sus usos resaltamos la posibilidad de que los alumnos resuelvan una gran variedad de problemas en los cuales los cálculos no son el objetivo de la clase, especialmente con aquellos problemas que tienen varios pasos y en los que la actividad central del alumno es tomar decisiones acerca de qué cálculos hacer. También es interesante como control de las anticipaciones, por ejemplo, frente a una colección de cálculos en los que hay que realizar estimaciones, utilizar la calculadora para corroborar
Recurrir a la calculadora como instrumento para verificar y corregir resultados obtenido por medio de cálculo mental y del cálculo algorítmico.
A veces el uso de la calculadora en el aula provoca cierto temor en los docentes: “si usan la calculadora entonces nunca van a hacer los cálculos bien, porque no van a practicar”. Otra idea que suele aparecer es que la calculadora evitará el razonamiento de los chicos, ya que: “si usan la calculadora no van a tener que pensar”.
Los chicos pueden aprender a hacer un uso reflexivo de la calculadora y que, lejos de dificultar el aprendizaje de los cálculos, podrán aprender más a partir de explorar y usar esta herramienta.
La calculadora es una herramienta hoy imprescindible en las aulas. Entre sus usos resaltamos la posibilidad de que los alumnos resuelvan una gran variedad de problemas en los cuales los cálculos no son el objetivo de la clase, especialmente con aquellos problemas que tienen varios pasos y en los que la actividad central del alumno es tomar decisiones acerca de qué cálculos hacer. También es interesante como control de las anticipaciones, por ejemplo, frente a una colección de cálculos en los que hay que realizar estimaciones, utilizar la calculadora para corroborar
Recurrir a la calculadora como instrumento para verificar y corregir resultados obtenido por medio de cálculo mental y del cálculo algorítmico.
Rol del Docente
PARA LOS DOCENTESRoles del docente
Cuando se plantean problemas de cálculos provocan un análisis del contenido y de las prácticas de resolución. El papel del docente es relevante. Sus tareas consisten:
•“Presentar grupos de cálculos similares que posibiliten el hallazgo de regularidades, las cuales permiten el progreso desde las estrategias usadas para resolver los dos o tres primeros hasta las empleadas en los siguientes.
•Presentar los cálculos en forma de situaciones que exijan de los chicos la invención y producción de formas de resolución propias, sin esperar que todos procedan uniformemente bien desde el inicio.
•Luego de la resolución , seleccionar cuatro o cinco alumnos que hayan utilizado procedimientos diferentes para que expliquen a sus compañeros cómo trabajaron.
•Organizar esa exposición para que de los procedimientos menos avanzados se vaya hacia los más económicos, de manera que todos puedan seguir la comparación viendo qué economiza cada uno respecto del anterior.
•Proponer la comparación de diferentes procedimientos y analizar cuáles son correctos y cuáles no; promover el análisis y la justificación.
•Someter a análisis colectivo los errores individuales, procurando que ese intercambio de opiniones favorezca la explicitación de relaciones nuevas y así se convierta en una oportunidad para que todos aprendan.
•Proponer analizar la mayor o menor economía de las diversas estrategias sin inhabilitar ninguna, para que en otra clase los chicos puedan apropiarse de las ajenas pero sin perder la posibilidad de recurrir a la menos avanzada.
•Sugerir estrategias nuevas que no hayan aparecido en la clase – en algunos casos válidas y en otros no- y someterlas a debate, en cuyo transcurso los alumnos tendrán que justificar y explicitar relaciones.
•Promover de manera explicita la utilización de modalidades de cálculo elaboradas por otros compañeros para nuevos cálculos similares.
•Registrar en papel afiche o en un cartel un ejemplo del nuevo tipo de cálculo, con la intención de que se lo pueda consultar durante un tiempo.
•Proponer a los alumnos que registren en sus carpetas las conclusiones que extraen de las estrategias válidas para reutilizar.
•Mostrar los avances en términos de cambios de estrategias y fomentar la toma de conciencia, por parte de los alumnos, acerca de los nuevos conocimientos que han producido.
•Identificar qué saberes matemáticos tienen relación con aquello que los chicos han encontrado, y proponer escrituras y vocabulario específico a partir de lo producido.
Estos roles del docente apuntan, por una parte, a generar un clima de investigación y producción de conocimientos y, por otra parte, a la difusión y reutilización de éstos por toda la clase.”
Cuando se plantean problemas de cálculos provocan un análisis del contenido y de las prácticas de resolución. El papel del docente es relevante. Sus tareas consisten:
•“Presentar grupos de cálculos similares que posibiliten el hallazgo de regularidades, las cuales permiten el progreso desde las estrategias usadas para resolver los dos o tres primeros hasta las empleadas en los siguientes.
•Presentar los cálculos en forma de situaciones que exijan de los chicos la invención y producción de formas de resolución propias, sin esperar que todos procedan uniformemente bien desde el inicio.
•Luego de la resolución , seleccionar cuatro o cinco alumnos que hayan utilizado procedimientos diferentes para que expliquen a sus compañeros cómo trabajaron.
•Organizar esa exposición para que de los procedimientos menos avanzados se vaya hacia los más económicos, de manera que todos puedan seguir la comparación viendo qué economiza cada uno respecto del anterior.
•Proponer la comparación de diferentes procedimientos y analizar cuáles son correctos y cuáles no; promover el análisis y la justificación.
•Someter a análisis colectivo los errores individuales, procurando que ese intercambio de opiniones favorezca la explicitación de relaciones nuevas y así se convierta en una oportunidad para que todos aprendan.
•Proponer analizar la mayor o menor economía de las diversas estrategias sin inhabilitar ninguna, para que en otra clase los chicos puedan apropiarse de las ajenas pero sin perder la posibilidad de recurrir a la menos avanzada.
•Sugerir estrategias nuevas que no hayan aparecido en la clase – en algunos casos válidas y en otros no- y someterlas a debate, en cuyo transcurso los alumnos tendrán que justificar y explicitar relaciones.
•Promover de manera explicita la utilización de modalidades de cálculo elaboradas por otros compañeros para nuevos cálculos similares.
•Registrar en papel afiche o en un cartel un ejemplo del nuevo tipo de cálculo, con la intención de que se lo pueda consultar durante un tiempo.
•Proponer a los alumnos que registren en sus carpetas las conclusiones que extraen de las estrategias válidas para reutilizar.
•Mostrar los avances en términos de cambios de estrategias y fomentar la toma de conciencia, por parte de los alumnos, acerca de los nuevos conocimientos que han producido.
•Identificar qué saberes matemáticos tienen relación con aquello que los chicos han encontrado, y proponer escrituras y vocabulario específico a partir de lo producido.
Estos roles del docente apuntan, por una parte, a generar un clima de investigación y producción de conocimientos y, por otra parte, a la difusión y reutilización de éstos por toda la clase.”
El cálculo mental
PARA LOS DOCENTESEl cálculo mental
Un cálculo mental es un cálculo reflexionado. Es aquel para lo que es necesario tomar decisiones respecto de cómo descomponer los números y qué cálculos parciales hacer. No necesariamente se los efectúa con rapidez ni en forma oral, también pueden ser escritos. Se observa la presencia de un cálculo mental por la diversidad de procedimientos realizados por los chicos.
Es conveniente que los alumnos conocieran más formas de resolver el mismo cálculo porque cuando se enseña un cálculo único los chicos lo realizan en forma mecánica y sin control de lo que están haciendo. Siguen una serie de pasos estudiados, pero al
confundir o saltear uno, aparece una gran cantidad de errores. Esto arroja resultados muy alejados del campo numérico posible. Sin embargo, muchos chicos no se dan cuenta de que el resultado no puede ser el que obtuvieron. No suelen tener la responsabilidad de elegir la forma de resolución, anticipar cuánto dará, ni controlar con posterioridad la pertinencia del resultado obtenido.
Para los cálculos mentales es preciso disponer de algunos en la memoria
Para los chicos es mucho más sencillo realizar cálculos con números que tengan la unidad seguida de ceros (nudos o redondos). En cada año se tiene que presentar un conjunto de cálculos sencillos, de números redondos, para que de a poco los alumnos
los utilicen para resolver otros (usar 4000 + 4000 para resolver 4120 + 4120). Durante un tiempo los alumnos podrán consultar esos resultados, luego se realizarán actividades que les permitan sistematizarlos y organizarlos, y, por último, se propondrá su memorización. Trabajar durante varios días con cálculos similares para que los chicos puedan establecer relaciones entre los resultados conocidos y los que buscan obtener.
Un cálculo mental es un cálculo reflexionado. Es aquel para lo que es necesario tomar decisiones respecto de cómo descomponer los números y qué cálculos parciales hacer. No necesariamente se los efectúa con rapidez ni en forma oral, también pueden ser escritos. Se observa la presencia de un cálculo mental por la diversidad de procedimientos realizados por los chicos.
Es conveniente que los alumnos conocieran más formas de resolver el mismo cálculo porque cuando se enseña un cálculo único los chicos lo realizan en forma mecánica y sin control de lo que están haciendo. Siguen una serie de pasos estudiados, pero al
confundir o saltear uno, aparece una gran cantidad de errores. Esto arroja resultados muy alejados del campo numérico posible. Sin embargo, muchos chicos no se dan cuenta de que el resultado no puede ser el que obtuvieron. No suelen tener la responsabilidad de elegir la forma de resolución, anticipar cuánto dará, ni controlar con posterioridad la pertinencia del resultado obtenido.
Para los cálculos mentales es preciso disponer de algunos en la memoria
Para los chicos es mucho más sencillo realizar cálculos con números que tengan la unidad seguida de ceros (nudos o redondos). En cada año se tiene que presentar un conjunto de cálculos sencillos, de números redondos, para que de a poco los alumnos
los utilicen para resolver otros (usar 4000 + 4000 para resolver 4120 + 4120). Durante un tiempo los alumnos podrán consultar esos resultados, luego se realizarán actividades que les permitan sistematizarlos y organizarlos, y, por último, se propondrá su memorización. Trabajar durante varios días con cálculos similares para que los chicos puedan establecer relaciones entre los resultados conocidos y los que buscan obtener.
Formas de organización y gestión de la clase
PARA LOS DOCENTESFormas de organización y gestión de la clase
Entre las formas de organización de la clase se incluyen: individual en parejas o pequeños grupos y colectivo.
Para muchos problemas se requiere un momento individual. Son espacios necesarios para que cada niño, en un tiempo personal, pueda enfrentarse al problema desde los conocimientos de que dispone. En otras oportunidades se abordará el problema en pequeños grupos o en parejas. Esta modalidad se adopta cuando la propuesta es más compleja y es posible que en el intercambio se acerquen a una estrategia o respuesta más elaborada y cuando la situación misma requiere roles diferenciados.
En el trabajo colectivo los conocimientos se socializan. Los alumnos comunican y explican las estrategias empleadas en la resolución del problema. La finalidad es difundir conocimiento (estrategias) y si las considera pertinentes, reutilizarlas. También en los momentos colectivos se promueve el análisis de errores que pudieron o no haber aparecido. Además se elaboran conclusiones, se comparan los conocimientos anteriores con los nuevos (establecer nexos entre los ya realizado y algo nuevo).
Entre las formas de organización de la clase se incluyen: individual en parejas o pequeños grupos y colectivo.
Para muchos problemas se requiere un momento individual. Son espacios necesarios para que cada niño, en un tiempo personal, pueda enfrentarse al problema desde los conocimientos de que dispone. En otras oportunidades se abordará el problema en pequeños grupos o en parejas. Esta modalidad se adopta cuando la propuesta es más compleja y es posible que en el intercambio se acerquen a una estrategia o respuesta más elaborada y cuando la situación misma requiere roles diferenciados.
En el trabajo colectivo los conocimientos se socializan. Los alumnos comunican y explican las estrategias empleadas en la resolución del problema. La finalidad es difundir conocimiento (estrategias) y si las considera pertinentes, reutilizarlas. También en los momentos colectivos se promueve el análisis de errores que pudieron o no haber aparecido. Además se elaboran conclusiones, se comparan los conocimientos anteriores con los nuevos (establecer nexos entre los ya realizado y algo nuevo).
La validación por parte del alumno
PARA LOS DOCENTES
La validación por parte del alumno
Los alumnos tiene que validar sus producciones, “hacerse cargo” de los resultados que encuentran y de las relaciones que establecen. Deben verificar si lo realizado es correcto o no, mediante diferentes recursos. Progresivamente se apuntará a que, también, los alumnos encuentren en el conocimiento matemático herramientas que permitan estar seguro de lo que se hizo es correcto. Se trata de promover diferentes instancias que les posibiliten ir adquiriendo mayores niveles de autonomía en el trabajo.
La validación por parte del alumno
Los alumnos tiene que validar sus producciones, “hacerse cargo” de los resultados que encuentran y de las relaciones que establecen. Deben verificar si lo realizado es correcto o no, mediante diferentes recursos. Progresivamente se apuntará a que, también, los alumnos encuentren en el conocimiento matemático herramientas que permitan estar seguro de lo que se hizo es correcto. Se trata de promover diferentes instancias que les posibiliten ir adquiriendo mayores niveles de autonomía en el trabajo.
Diversidad de procedimientos
PARA LOS DOCENTESDiversidad de procedimientos
Los problemas son un “motor” de producción de conocimientos nuevos. Esto implica promover la aparición de una variedad de procedimientos posibles por parte de los niños. Podrán resolver situaciones con estrategias variadas según los conocimientos y recursos que tengan disponibles.
La variedad de formas de resolución es también un buen indicador de que los problemas inicialmente propuestos no son tan simples como para que todos los resuelvan del mismo modo, ni tan complejos para que no los puedan resolver. Un problema que ya se ha tornado conocido, un tiempo después suele resolverse con estrategias más homogéneas e incluso más convencionales, y entonces allí una cierta homogeneidad podrá ser interpretada como marca de un avance colectivo. Hay momentos de trabajo para comunicar, comparar y apropiarse de diferentes procedimientos de resolución. De algún modo se pretende instalar en la clase, espacios colectivos de análisis del problema a propósito de la diversidad de formas de abordaje.
Interpretar errores ajenos es muy positivo tanto para aquellos alumnos que han producido errores similares como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error y los invita a justificar y explicitar razones. Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conocimientos de los niños en un momento determinado, y exigen un trabajo sistemático para su superación.
Fuente: Trabajo final del curso "La Enseñanza de la Matemática en el Nivel Inicial y Primario"
Los problemas son un “motor” de producción de conocimientos nuevos. Esto implica promover la aparición de una variedad de procedimientos posibles por parte de los niños. Podrán resolver situaciones con estrategias variadas según los conocimientos y recursos que tengan disponibles.
La variedad de formas de resolución es también un buen indicador de que los problemas inicialmente propuestos no son tan simples como para que todos los resuelvan del mismo modo, ni tan complejos para que no los puedan resolver. Un problema que ya se ha tornado conocido, un tiempo después suele resolverse con estrategias más homogéneas e incluso más convencionales, y entonces allí una cierta homogeneidad podrá ser interpretada como marca de un avance colectivo. Hay momentos de trabajo para comunicar, comparar y apropiarse de diferentes procedimientos de resolución. De algún modo se pretende instalar en la clase, espacios colectivos de análisis del problema a propósito de la diversidad de formas de abordaje.
Interpretar errores ajenos es muy positivo tanto para aquellos alumnos que han producido errores similares como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error y los invita a justificar y explicitar razones. Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conocimientos de los niños en un momento determinado, y exigen un trabajo sistemático para su superación.
Fuente: Trabajo final del curso "La Enseñanza de la Matemática en el Nivel Inicial y Primario"
Secuenciación de problemas
PARA LOS DOCENTES
Secuenciación de problemas
Para que los alumnos puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de
partida – aun cuando sean erróneos o no convencionales – y a la vez ponerlos a
prueba, modificarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso que se enfrenten a una misma clase de problemas en repetidas oportunidades. Así pensará nuevamente en las relaciones que aparecieron en clases anteriores, abandonará ensayos erróneos e intentará nuevas aproximaciones. Aquellas cuestiones que en algún momento se resuelven con estrategias menos avanzadas, luego de cierto trabajo sostenido se resolverán con recursos más económicos
Además de volver sobre una misma clase de situaciones con otras herramientas, es necesario que los niños se enfrenten a nuevos problemas.
Fuente: Trabajo final del curso "La Enseñanza e la Matemática en el Nivel Inicial y Primario"
Secuenciación de problemas
Para que los alumnos puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de
partida – aun cuando sean erróneos o no convencionales – y a la vez ponerlos a
prueba, modificarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso que se enfrenten a una misma clase de problemas en repetidas oportunidades. Así pensará nuevamente en las relaciones que aparecieron en clases anteriores, abandonará ensayos erróneos e intentará nuevas aproximaciones. Aquellas cuestiones que en algún momento se resuelven con estrategias menos avanzadas, luego de cierto trabajo sostenido se resolverán con recursos más económicos
Además de volver sobre una misma clase de situaciones con otras herramientas, es necesario que los niños se enfrenten a nuevos problemas.
Fuente: Trabajo final del curso "La Enseñanza e la Matemática en el Nivel Inicial y Primario"
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